Dodirujuće sfere (4. siječnja 2013. godine)

Prvi post u 2013. godini nastavlja tradiciju Konstrukcije stvarnosti objavljujući matematičku vizualnost na početku godine. 1. siječnja 2012. godine simulirao sam >> Wangove pločice "zmijskog uzorka", a 1. siječnja 2011. godine dizajnirao sam >> Moire uzorke raznih simetrija.

Matematički objekt ove godine je velika zlatna sfera djelomično pokrivena s 1751 manjih kromiranih sfera (slika iznad). Taj je objekt postavljen između dvije ravnine: ravnine pijeska i ravnine neba, između kojih lebdi. Na slici iznad, objekt gledamo s ravnine pijeska prema gore. Zato u pozadini objekta vidimo nebo, a u zrcaljenjima na kromiranim sferama vidimo uglavnom pijesak (pustinju). Kad objekt gledamo odozgo prema dolje (ispod), uzorak je obrnut - u pozadini objekta vidimo pijesak, a u zrcaljenjima na kromiranim sferama vidimo uglavnom nebo. Vidi se i sjena objekta na pijesku pustinje.

Objekt je zanimljiv i po tome što se kromirane sfere dodiruju. I to ne bilo kako. Svaka kromirana sfera ima središte na površini zlatne sfere, a dodiruje barem jednu drugu kromiranu sferu i to u točki koja se također nalazi na zlatnoj sferi (gledano u punom trodimenzionalnom prostoru, sfere se ne dodiruju nego se sijeku, a njihov presjek postaje točka na površini zlatne sfere). Oni matematički nabrijani odmah će napisati uvjet za takvo "dodirivanje", a evo, napisat ću ga i ja, čisto zbog arhive. Udaljenost središta, d, dviju "dodirujućih" kromiranih sfera radijusa R₁ i R₂ na zlatnoj sferi radijusa R, mora biti:

d = [R₁ (4R² - R₂ ²)^1/2 + R₂ (4R² - R₁ ²)^1/2] / (2R)

Za numeričku implementaciju bolje je raditi sa (sfernim) kutevima.

U objektu je također zanimljivo da se baš sve (kromirane) sfere dodiruju i to tako da nema nepovezanih skupova sfera, odn. da se od bilo koje sfere može doći do bilo koje druge preko dodirujućih sfera, tj. da za svaki proizvoljno izabrani par (kromiranih) sfera između njih postoji barem jedan put od međusobno dodirujućih sfera.

Osim matematičke povezanosti objekta, zanimljiva su i njegova optička svojstva. Budući da su sfere reflektivne, okolne sfere, a i nebo i pustinja u njima se zrcale. Ovdje se javlja zanimljiv efekt višestrukih zrcaljenja u konveksnim sfernim zrcalima. Djelomično se to vidi na slici objekta iz veće blizine (ispod).

Ovaj se efekt još bolje vidi na dvije slike ispod na kojima je objekt prikazan iz neposredne blizine.

Sfere unutar sfera. Na vrućem pustinjskom pijesku.

Varijacija na temu je prikazana na slici ispod. Ovdje je iz kromiranih sfera izrezana cilindrična sredica tako da se dobiju objekti slični prstenima. Unutrašnjost tih prstena izgleda kao da je od zlata, no to je optički efekt jer unutrašnjosti zrcale zlatnu površinu velike sfere.

<< Novogodišnja poezija

Haiku o djetetu-Budi >>

Zadnji put osvježeno 4. siječnja 2013. godine