Deltaedri ala Leonardo, 16. studeni 2009. godine

tetrahedron, tetraedar polyhedron

Jedina zbirka crteža koje je Leonardo objavio za života bile su ilustracije za knjigu Luca Paciolija, De divina proportione (O božanskim omjerima). Luca Pacioli bio je franjevac od kojeg je Leonardo pokupio dosta matematičkog znanja u periodu od 1496. do 1501. godine kad su obojica radila za milanskog vojvodu, Ludovica Sforza. Leonardo je za Paciolijevu knjigu, čija su tematika omjeri u geometriji i arhitekturi, načinio šezdesetak ilustracija koje su prikazivale poliedre. Ilustracije su otisnute tehnikom drvoreza i izgledaju znatno grublje i mnogo manje precizne (vidi sliku ispod) od famoznih Leonardovih folia i to je vjerojatno i razlog što je Leonardo na jednom mjestu u svojim zapisima odredio da ono što se od njegovog rada ima objaviti mora biti načinjeno tehnikom bakroreza, a nikako drvoreza.

leonardo da vinci, pacioli, polyhedra

Poliedre je Leonardo prikazao kao okvire tako da se simultano vide njihove prednje i stražnje strane. Ova dva prikazana na slici iznad nazvana su exacedron elevatus vacuus (lijevo) i septuaginta duarum basium vacuum, gdje bi ovo vacuus i vacuum valjda trebalo značiti da su poliedri prazni, tj. naglasiti način na koji ih Leonardo prikazuje. Želio sam načiniti nešto slično njegovim ilustracijama.

Meni je iz određenih razloga trebalo točno 8 poliedara, pa sam razmišljao kako od beskonačnog broja poliedara obabrati logičnu skupinu od njih osam. Platonskih tijela je pet, Arhimedovih tijela je trinaest, čega je točno osam? Osam je strogo konveksnih deltaedara. Deltaedar je poliedar kojemu su sve strane jednakostranični trokuti. Odmah padaju na pamet tetraedar, oktaedar i ikozaedar koji su, pored toga što su konveksni deltaedri, i platonska tijela, ali postoji ih još pet koji imaju komplicirana imena.

octahedron, oktaedar pentagonal dipyramid

No, zanimljivije je da definicija deltaedra koju sam iznio gore zvuči kao definicija platonskog tijela, pa kako ih onda može biti osam (umjesto samo tri)? Radi se o tome da u definiciju platonskog tijela treba dodati uvjet da su svi vrhovi isti s obzirom na broj stranica koji se u njima sastaju. Kod pet deltaedara, postoji više vrsta vrhova u kojima se sastaje različit broj stranica i stoga oni nisu platonska tijela. Inače, ovo je uvjet koji se u definiciji platonskog tijela često zaboravlja (mislim da sam ga i ja zaboravio nekoliko puta, a u dobrom sam društvu jer ga je i Euklid zaboravio). Na slici koja otvara ovaj post nalaze se tetraedar i triangularna dipiramida (!) koja ima šest stranica, a radi se u stvari o dva tetraedra slijepljena po jednoj zajedničkoj strani. Na slici iznad nalaze se oktaedar i pentagonalna dipiramida, tj. dvije pentagonalne piramide slijepljenih baza.

polyhedron 12 polyhedron 14

Na gornjoj slici prikazani su dodekadeltaedar i tetrakaidekadeltaedar (!) koji imaju 12 i 14 stranica. Oba poliedra imaju ravninu zrcalne simetrije. Cilindar iznad kojeg poliedri "lebde" ukrašen je ornamentom razvijenim ranije i opisanim u postu Leonardove petljancije. Moji "šuplji" poliedri načinjeni su od srebra i zlata.

polyhedron 16 icosahedron, ikozaedar

Iznad su prikazani heokaidekadeltaedar i ikozaedar. Heokaidekadeltaedar su u stvari dvije četverostrane piramide povezane kvadratnom antiprizmom (e, ovo je sad fakat rječnik okorjelih ovisnika o poliedrima, a ovisnost o poliedrima uopće nije rijetka). Okolina u kojoj se nalaze poliedri je unutrašnjost bazilike svetog Petra, načinjena od precizne fotografije Patricka Landy-ja. Ova fotografija poslužila je i kao ambijentalni izvor svjetla, tj. nema dodatnog izvora svjetla osim onog koje je konzistentno s osvjetljenjem na fotografiji (dugo bi mi trebalo da to detaljno objasnim... radi se o tehnologiji sličnoj projekciji HDRI slike na "ambijentalnu" sferu koju je Paul Debevec spektakularno iskoristio u svom filmu Fiat Lux).

<< Lune, rozete i Leonardo Galerija virusa >>

Zadnji put osvježeno: 16. studenog 2009. godine.