O perspektivi s 1, 2 i 3 točke iščezavanja I, 8. rujna 2013. godine
O grafičkoj perspektivi sam napisao već dva posta koja su sasvim dovoljna da se iz njih nauči sve što jednom
ilustratoru i slikaru treba. Radi se o postovima >> Crtanje u
postscriptu III i >> Uvod u znanstvenu vizualizaciju 2, gdje
možete čuti i moje predavanje koje ukratko objašnjava osnove grafičke perspektive.
No, čitam >> knjige Andrewa Loomisa iz kojih mi je jasno
s kojim se sve problemima perspektive suočava slikar ili ilustrator koji radi na većim slikama, koje često
uključuju veliki broj osoba na različitim udaljenostima od promatrača, u različitim položajima, te
različitih visina (npr. djeca i odrasli). Likove i objekte, a pogotovo arhitekturu treba pozicionirati
i skalirati u skladu s perspektivom, a Loomis za te potrebe daje neke vrlo korisne savjete. Razmišljajući
o njegovim savjetima, uvidio sam da je svaki od njih u potpunom skladu s matematičkim formulama koje sam
iznio u postu >> Crtanje u postscriptu III, a koje ispod
ponavljam:
| x' = x d / (z + d) | (1) |
| y' = y d / (z + d) | (2) |
x' i y' su dvodimenzionalne koordinate, koordinate ilustracije (ili perspektivnog prozora), a x, y i z su
stvarne koordinate točke u 3D prostoru. d je udaljenost promatrača od perspektivnog prozora (slika iznad).
Koordinata z predstavlja liniju pogleda (line of sight) tj. pravac duž kojeg prostor gledamo i
koji je okomica na perspektivni (projekcijski) prozor (razapet x' i y' koordinatama; slika iznad). Izabrat ću
ovdje koordinatni sustav (iznad) tako da x-koordinata pokazuje u smjeru desno-lijevo, a y-koordinata
prema gore-dolje, dok z-koordinata odlazi u dubinu slike. Koordinatne osi sam mogao izabrati i drukčije, ali
zbog simetrije jednadžbi (1) i (2), ništa se ne bi promijenilo, sve dok mi z-koordinata predstavlja liniju
pogleda.
No, ne znaju svi dobro matematiku pa ću u tekstu koji slijedi ilustrirati što sve predviđaju jednadžbe
perspektivne projekcije te kako to ilustratori mogu iskoristiti čak i ako nisu previše matematički vješti.
Za ilustraciju materijala o kojem ću dalje govoriti izabrao sam ženske "likove" (komadiće ravnine, poligone)
pozicionirane na kvadratnu mrežu (slika ispod). Ovo je idealizirana, ogoljena reprezentacija problema s kojim
se ilustrator susreće kad ilustrira prizore s mnogo likova. Na slici ispod likove sam pozicionirao u "matricu"
tj. u kolone (odlaze u dubinu, prema većoj z-koordinati) i redove (desno - lijevo, paralelno x-koordinati).
Slika iznad predstavlja ono što se zove perspektiva s jednom točkom iščezavanja. Točka iščezavanja o kojoj se
radi označena je slovom F. Ovakva se perspektiva dobiva kad prizor uključuje dva karakteristična i međusobno
okomita pravca, od kojih je jedan paralelan liniji pogleda, odn. z-koordinati. Takav ćete prizor dobiti npr. kad gledate
duž ravne ceste.
U našem slučaju, sve kolone likova izgledaju kao da "izviru" iz točke F, odn. u njoj uščezavaju. Vidi se to iz crtkanih
ružičastih linija povučenih tako da spajaju vrhove likova u istim kolonama. Vidi se da se sve crtkane linije sijeku u
točki iščezavanja F. Točkaste žute linije spajaju likove u istim redovima (tj. na istim z-koordinatama, a na različitim
x-koordinatama). Vidimo da su te linije paralelne okviru perspektivnog projekcijskog prozora (x' osi). Ovo nije posve trivijalno
jer govori da će svi likovi na istoj koordinati z imati istu visinu (y'), neovisno o tome koliko su udaljeni od promatrača,
odnosno perspektivnog prozora, D = (x2 + y2 + z2)1/2. Ovo se vidi iz jednadžbe (2)
koja ne miješa x- i y-koordinate, stoga projicirana visina lika (y') ne ovisi o njegovoj udaljenosti od promatrača,
nego samo o njegovoj dubini (z).
Evo brzinske matematike koja objašnjava dosadašnje nalaze. Pravce paralelne z-osi možemo napisati kao:
| x = x0 | (3) |
| y = y0, | (4) |
gdje su x0 i y0 parametri pravca - svi x0 i y0 parametri čine snop pravaca
paralelan sa z-osi. O parametrima (x0, y0) možemo razmišljati i kao o točki u kojoj pravac paralelan
z-osi siječe perspektivni prozor (tj. kad je z=0).
Odaberimo neki pravac (x0, y0). On u perspektivnoj projekciji prelazi u pravac u (x', y') ravnini,
| y' = (y0 / x0) x'. | (5) |
Gornju jednadžbu dobivamo eliminacijom koordinate z iz perspektivne transformacije. Iz ovoga vidimo da svi pravci paralelni
z-osi izviru iz ishodišta perspektivnog koordinatnog sustava (odn. točke iščezavanja), ali su im
nagibi (y0 / x0) različiti.
No, što se događa s pravcima koji nisu paralelni liniji gledanja? Odgovor na ovo pitanje možemo dobiti i iz slike iznad,
i to razmatrajući npr. pravce koji ne povezuju likove u istim kolonama nego ukoso npr. jedan lik s onim
u redu iza nje, ali u koloni odmah lijevo od nje (promatračevo desno, s obzirom da gledamo u lica likova). Dva su takva pravca
prikazana na slici ispod plavim crtkanim linijama. Zaključujemo i da se međusobno paralelni pravci koji nisu paralelni
liniji gledanja također sijeku u jednoj točki u perspektivnoj projekciji (ozn. F' na slici ispod), ali ta točka ne koincidira s "glavnom" točkom
iščezavanja, F. No, obje točke su na istoj visini u perspektivnoj projekciji, y'=0, a pravac koji ih povezuje nazivamo
horizontom (slika ispod).
Važno je zapamtiti da se horizont nalazi na visini očiju promatrača (y=y'=0).
Neću dalje izvoditi matematičke relacije koje objašnjavaju ovaj nalaz, to je prilično jednostavno pa ostavljam vama. Ono o čemu
morate razmišljati kad ilustrirate neki prizor je da svi paralelni pravci imaju istu (svoju) točku iščezavanja - ta točka
iščezavanja ovisi o njihovom kutu prema liniji gledanja.
Ako su pravci o kojima se radi "ravni", tj. ne uspinju se
i ne spuštaju sa z-koordinatom (tj. dani su kao x=az, y=y0), onda je njihova točka iščezavanja na horizontu (y'=0), i
to na perspektivnim koordinatama F' = (ad, 0) (izvedite, jednostavno je).
Ovo je dobar uvod u perspektivnu projekciju s dvije točke
iščezavanja prikazanu na slici ispod. Već sam napisao i previše teksta, pa ostavljam to za idući post.
| << Nakon mora | O perspektivi s 1, 2 i 3 točke iščezavanja II >> |
Zadnji put osvježeno: 8. rujna 2013. godine.